O Surgimento dos Números Inteiros...

Ao longo da história podemos observar o avanço da Matemática, a necessidade de contar e relacionar quantidades fez com que o homem desenvolvesse símbolos no intuito de expressar inúmeras situações. Diversos sistemas de numeração foram criados em todo o mundo no decorrer dos tempos, sendo os mais antigos originários do Egito, Suméria e Babilônia. Podemos também citar outros sistemas de numeração bastante conhecidos, como o Chinês, os Maias, o Grego, o Romano, o Indiano e o Arábico.
Confira mais sobre esses assuntos no link abaixo....
http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/o-surgimento-dos-numeros-inteiros.htm

OPERAÇÕES DOS NÚMEROS INTEIROS! + - x :

O conjunto dos números inteiros é formado pelos algarismos inteiros positivos, negativos e o zero. Eles são importantes para o cotidiano, principalmente nas situações envolvendo valores negativos, como escalas de temperatura, saldos bancários, indicações de altitude em relação ao nível do mar, entre outras situações. As adições e subtrações destes números, requerem a utilização de regras matemáticas envolvendo os sinais positivos (+) e negativos (–).

 Adição e subtração de números inteiros sem a presença de parênteses, sinais iguais: soma e conserva o sinal e sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do número maior.

ex:+ 3 + 4 = + 7
+ 5 – 9 = – 4
– 1 + 6 = + 5
– 3 – 10 = – 13



ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

A adição é a operação responsável por unir os elementos. Por exemplo:
Pedro possui 5 bolas de gude e ganhou mais 3 num jogo com seu colega. Com quantas bolas de gude Pedro ficou?

Resp: Como Pedro tinha 5 bolas de gude e ganhou 3, a operação feita para saber com quantas bolas de gude ele ficou é a da adição: 5 + 3 = 8. Portanto, Pedro ficou com 8 bolas de gude.

A adição é uma propriedade onde juntamos os elementos de dois os mais conjuntos, formando um novo conjunto. As propriedades da adição são: fechamento, comutatividade, associação e elemento neutro.

Comutatividade: se mudarmos as parcelas de lugar na adição, o resultado não se altera.
Ex: 7 + 3 = 10.

Associação: as parcelas numa adição podem ser somadas de maneiras diferentes, e o resultado não se altera.
Ex: (5 + 2) + 6 = 13.

Elemento Neutro: na adição, o zero é considerado elemento neutro, assim, qualquer número adicionado a zero tem como resultado o próprio número.
Ex: 0 + 7 = 7.

Fechamento: quando adicionamos dois ou mais números naturais, o resultado sempre será um número natural.
Ex: 8 + 6 = 14 (8 é um número natural, 6 é um número natural e 14 é um número natural).

DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS

A divisão é uma inversão da multiplicação. O verbo dividir em matemática é representado pelo sinal : (lê-se dividido por) e o resultado (o quociente) pelo sinal = (lê-se igual). Por exemplo:
Maria deseja distribuir 6 canetas coloridas entre 3 colegas de escola, de forma que todos recebam a mesma quantidade. Cada colega de Maria deverá receber 2 canetas coloridas. A operação que Maria realizou é chamada de divisão. Observe:6 : 3 = 2 → 6 dividido por 3 é igual a 2.



MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

Na sua forma mais simples a multiplicação é uma forma simples de se adicionar uma quantidade finita de números iguais. O resultado da multiplicação de dois números é chamado produto. Os números sendo multiplicados são chamados de coeficientes ou operandos, e individualmente de multiplicando e multiplicador.

Por exemplo:
Cada buquê é formado por 3 rosas, quantas rosas terá 4 buquês?
Resp: 3 x 4 = 12. 3 vezes quatro é igual a 12.Quando precisamos somar agrupamentos de números iguais usamos a multiplicação.
Observe algumas situações:

3 + 3 = 6 ou 3 x 2 = 6.

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 ou 4 x 5 = 20.



SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

Subtração é uma operação matemática que indica quanto é um valor numérico se dele for removido outro valor numérico. A subtração é o mesmo que a adição por um número de sinal inverso. É, portanto, a operação inversa da adição. Por exemplo:

Carlinhos tem uma coleção de 8 carrinhos. Ele deu 3 carrinhos para seu primo Henrique. Com quantos carrinhos Carlinhos ficou?

Resp: 8 – 3 = 5 → 8 menos 3 é igual a 5. Portanto, Carlinhos ficou com 5 carrinhos.

 

 

PROBLEMAS E SITUAÇÕES COM INTEIROS

       Abaixo você encontrará mais algumas situações problemas.

         http://www.tudosobreconcursos.com/content/view/322/28/

NÚMEROS INTEIROS

MATEMÁTICOS QUE DESENVOLVERAM AVANÇOS

  PITÁGORAS

O filósofo grego Pitágoras, que deu seu nome a uma ordem de pensadores, religiosos e cientistas, nasceu na ilha de Samos no ano de 582 a.C. A lenda nos informa que ele viajou bastante e que, com certeza, teve contato com as idéias nativas do Egito, da Ásia Menor, da Índia e da China. A parte mais importante de sua vida começou com a sua chegada a Crotona, uma colônia Dórica do sul da Itália, então chamada Magna Grécia, por volta de 529 a.C. A ESCOLA PITAGÓRICAParece que, por volta da metade do séc. V a.C., houve uma divisão dentro da Escola, De um lado, estavam os “matemáticos”, representados por nomes do peso de Archytas e Aristoxenus, que estavam interessados nos estudos científicos, especialmente em matemática e na teoria musical; de outro lado estavam os membros mais conservadores da Escola, que se concentravam nos conceitos morais e religiosos, e que eram chamados de akousmatikoi (plural de akousmata, os adeptos das tradições orais). Estes elementos – religiosos e científicos – estavam já presentes nos ensinamentos de Pitágoras.

A ARITMÉTICA PITAGÓRICAPara Pitágoras a Divindade, ou Logos, era o Centro da Unidade e da Harmonia. Ele ensinava que a Unidade, sendo indivisível, não é um número. Esta é a razão porque se exigia do candidato à admissão na Escola Pitagórica a condição de já haver estudado Aritmética, Astronomia, Geometria e Música, consideradas as quatro divisões da Matemática. Explica-se também assim porque os Pitagóricos afirmavam que a doutrina dos números, a mais importante do Esoterismo, fora revelada ao Homem pela Divindade, e que o Mundo passara do Caos à Ordem pela ação do Som e da Harmonia. A unidade ou 1 (que significava mais do que um número) era identificada por um ponto, o 2 por uma linha, o três por uma superfície e o quatro por um sólido. A Tetraktys, pela qual os Pitagóricos passaram a jurar, era uma figura do tipo abaixo:

.
. .
. . .
. . . .

representando o número triangular 10 e mostrando sua composição como sendo 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Adicionando-se uma fileira de cinco pontos teremos o próximo número triangular de lado cinco, e assim por diante. Mostrando que a soma de qualquer série de números naturais que comece pelo número 1 é um número triangular. A soma dos números de qualquer série numérica composta por números ímpares e que comece por 2 é um número quadrado. E a soma dos números de qualquer série numérica de números pares que comece pelo número 2 é um número oblongo, ou retangular.

Este é o princípio matemático que levou à 47ª Proposição de Euclides, o matemático grego que divulgou o Teorema de Pitágoras, pelo qual o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados dos dois outros lados, ou catetos. A demonstração deste teorema é a Jóia do Ex-Venerável mais recente de uma Loja Maçônica, em homenagem a Pitágoras, e que simboliza a doutrina científica e esotérica de sua Escola de Filosofia. O mesmo raciocínio usado na formulação do teorema acima, quando o triângulo retângulo é isósceles, (com catetos ou lados iguais) levou os Pitagóricos a descobrir os números irracionais, como, por exemplo, a raiz do número 2, que é igual a 1,4142,,,, (dízima periódica).

ORIGEM DO SÍMBOLO "Z" DOS NÚMEROS INTEIROS

O conjunto de todos os inteiros é denominado por Z (Mais apropriadamente, um Z em blackboard bold, ), que vem do alemão Zahlen, que significa números, algarismos.
Os resultados das operações de soma, subtração e multiplicação entre dois inteiros são inteiros. Dois inteiros admitem relações binárias como =, > e <.
Matemáticos expressam o facto de que todas as leis usuais da aritmética são válidas nos inteiros dizendo que (Z, +, *) é um anel comutativo.
A ordem de Z é dada por ... < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < ... e faz de Z uma ordenação total sem limite superior ou inferior. Chama-se de inteiro positivo os inteiros maiores que zero ; o próprio zero não é considerado um positivo. A ordem é compatível com as operações algébricas no seguinte sentido:

1. se a < b e c < d, então a + c < b + d
2. se a < b e 0 < c, então ac < bc

MATEMÁTICOS IMPORTANTES
Muitos sistemas de numeração existiram. O Papiro de Rhind é um documento que resistiu ao tempo e mostra os numerais escritos no Antigo Egito.
O desenvolvimento da matemática permeou as primeiras civilizações, e tornou possível o desenvolvimento de aplicações concretas: o comércio, o manejo de plantações, a medição de terra, a previsão de eventos astronômicos, e por vezes, a realização de rituais religiosos.
A matemática começou a ser desenvolvida motivada pelo comércio, medições de terras para a agricultura, registro do tempo, astronomia. A partir de 3000 a.C., quando Babilônios e Egípcios começaram a usar aritmética e geometria em construções, astronomia e alguns cálculos financeiros, a matemática começou a se tornar um pouco mais sofisticada. O estudo de estruturas matemáticas começou com a aritmética dos números naturais, seguiu com a extração de raízes quadradas e cúbicas, resolução de algumas equações polinomiais de grau 2, trigonometria, frações, entre outros tópicos.

Euclides: painel em mármore, Museu dell'Opera del Duomo.

Tais desenvolvimentos são creditados às civilizações acadiana, babilônica, egípcia, chinesa, ou ainda, àquelas do vale dos hindus. Por volta de 600 a.C., na civilização grega, a matemática, influenciada por trabalhos anteriores e pela filosofia, tornou-se mais abstrata. Dois ramos se distinguiram: a aritmética e a geometria. Formalizaram-se as generalizações, por meio de definições axiomáticas dos objetos de estudo, e as demonstrações. A obra Os Elementos de Euclides é um registro importante do conhecimento matemático na Grécia do século III a.C.
A civilização islâmica permitiu que a herança grega fosse conservada, e propiciou seu confronto com as descobertas chinesas e hindus, notadamente na questão da representação numérica ^{[carece de fontes?]}. Os trabalhos matemáticos desenvolveram-se consideravelmente tanto na trigonometria, com a introdução das funções trigonométricas, quanto na aritmética. Desenvolveu-se ainda a análise combinatória, a análise numérica e a álgebra de polinômios.
Na época do Renascentismo, uma parte dos textos árabes foi estudada e traduzida para o latim. A pesquisa matemática se concentrou então na Europa. O cálculo algébrico desenvolveu-se rapidamente com os trabalhos dos franceses François Viète e René Descartes. Nessa época também foram criadas as tabelas de logaritmos, que foi extremamente importante para o avanço científico dos séculos XVI a XX, sendo substituídas apenas após a criação de computadores. A percepção de que os números reais não são suficientes para resolução de certas equações também data do século XVI. Já nessa época começou o desenvolvimento dos chamados números complexos, apenas com uma definição e quatro operações. Uma compreensão mais profunda dos números complexos só foi conquistada no século XVIII com Euler.
No início do século XVII, Isaac Newton e Leibniz descobriram a noção de cálculo infinitesimal e introduziram a noção de fluxor (vocábulo abandonado posteriormente). Ao longo dos séculos XVIII e XIX, a matemática se desenvolveu fortemente com a introdução de novas estruturas abstratas, notadamente os grupos (graças aos trabalhos de Évariste Galois) sobre a resolubilidade de equações polinomiais, e os anéis definidos nos trabalhos de Richard Dedekind.
O rigor em Matemática variou ao longo do tempo: os gregos antigos foram bastante rigorosos em suas argumentações; já no tempo da criação do Cálculo Diferencial e Integral, como as definições envolviam a noção de limite que, pelo conhecimento da época, só poderia ser tratada intuitivamente, o rigor foi menos intenso e muitos resultados eram estabelecidos com base na intuição. Isso levou a contradições e "falsos teoremas". Com isso, por volta do século XIX, alguns matemáticos, tais como Bolzano, Karl Weierstrass e Cauchy dedicaram-se a criar definições e demonstrações mais rigorosas.
A Matemática ainda continua a se desenvolver intensamente por todo o mundo nos dias de hoje
Matemáticos notáveis.

Situações Problemas

  1)  Em uma cidade do Alasca, o termômetro marcou 
–15° pela manhã. Se a temperatura descer mais 13°, 
o termômetro vai marcar...

(A) - 28°.

(B) - 2°.

(C) 2°.

(D) 28°.

 2) Sendo N = (-3)² – 3², então, o valor de N é

(A) 18.

(B) 0.

(C) –18.

(D) 12.

3)  Na reta numérica da figura abaixo, o ponto E corresponde ao número inteiro -9 e o ponto

F, ao inteiro -7.

               ---a--b--c--d--e--f--g--h--i--j--k--l--m---

                                   -9 -7

Nessa reta, o ponto correspondente ao inteiro zero estará

(A) sobre o ponto M.

(B) entre os pontos L e M.

(C) entre os pontos I e J.

(D) sobre o ponto J.

4)  Em uma loja de informática, Paulo comprou: um computador no valor de 2200 reais, uma

impressora por 800 reais e três cartuchos que custam 90 reais cada um. Os objetos foram

pagos em 5 parcelas iguais. O valor de cada parcela, em reais, foi igual a

(A) 414.

(B) 494.

(C) 600.

(D) 654.

 5)  Imagine que uma pessoa tem R$500,00 depositados em um banco e faça sucessivos saques:
1º saque: R$200,00
2º saque: R$100,00
3º saque: R$300,00
Qual o saldo no banco dessa pessoa após os saques?.

Possíveis soluções para esta situação-problema:
- Descontar ou contar pra trás. Isto é, ir diminuindo a cada saque: após o primeiro saque restam R$300,00 na conta, após o segundo saque restam R$200,00 na conta e após o terceiro saque, o saldo fica negativo em R$100,00. Ou seja, o saldo no banco será de R$100,00.

6)O esquema a seguir representa a rua onde Elvira mora.



a. Certo dia Elvira saiu de casa e fez o seguinte trajeto:
foi até o correio mandar uma carta para sua amiga e em seguida foi assistir à missa. Comeu um lanche na padaria após à missa, foi ao banco pagar uma conta e foi buscar sua filha na escola, pararam na praça para tomar um sorvete foram para casa. Quantos metros Elvira andou nesse percurso?
 
R=2.200m
b. Saindo da casa de Elvira, faça o seguinte trajeto sobre a reta numérica: 400 m para a direita, 300 m para a esquerda, 500 m para a direita , 300 m para a esquerda e 100 m para a esquerda. Em que local você parou da reta?

R=praça

A História dos Números Inteiros....

Com o início do Renascimento surgiu a expansão comercial, que aumentou a circulação de dinheiro, obrigando os comerciantes a expressarem situações envolvendo lucros e prejuízos. A maneira que eles encontraram de resolver tais situações problemas consistia no uso dos símbolos + e –. Suponha que um comerciante tenha três sacas de arroz de 10 kg cada em seu armazém. Se ele vendesse 5 Kg de arroz, escreveria o número 5 acompanhado do sinal –; se ele comprasse 7 Kg de arroz, escreveria o numeral 7 acompanhado do sinal +.

Utilizando essa nova simbologia, os Matemáticos da época desenvolveram técnicas operatórias capazes de expressar qualquer situação envolvendo números positivos e negativos. Surgia um novo conjunto numérico representado pela letra Z (significa: Zahlen: número em alemão), sendo formado pelos números positivos (Naturais) e seus respectivos opostos, podendo ser escrito da seguinte forma: 
Z = {...,–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}

Os subconjuntos

O conjunto dos números inteiros podem ser separados em subconjuntos:

*Conjunto dos inteiros não-negativos:
Z+ = {0,1,2,3,...}   /   Z+ = { X E Z / X >= 0}

OBS : Não se pode denominar Z+ como conjunto dos inteiros positivos, pois o nº 0 não é positivo.

*Conjunto dos inteiros não-positivos:
Z- = { ...,-4,-3,-2,-1,0}   /   Z- = {X E Z / X<= 0}

OBS: Não se pode denominar Z- como conjunto dos inteiros negativos, pois o nº 0 não é negativo.


*Conjunto dos inteiros positivos:
Z*+ = {1,2,3,4,...}   /    Z*+ = {X E Z / X > 0}


*Conjunto dos inteiros negativos:
Z*- = {...,-4,-3,-2,-1}   /   Z*- = {X E Z / X < 0}

*Conjunto dos inteiros não-nulos:
Z* = {...,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,...}   /   Z* - {0}   /   Z* = {X E Z / X dif. 0}

O gráfico

O deslocamento